Question

定义τ（a₁，a₂，…，a_n）=|a₁-a₂|+|a₂-a₃|+…+|a_n-1-a_n|为有限项数列{a_n}的波动强度．
（Ⅰ）当a_n=（-1）ⁿ时，求τ（a₁，a₂，…，a₁₀₀）；
（Ⅱ）若数列a，b，c，d满足（a-b）（b-c）（c-d）＞0，求证：τ（a，b，c，d）≤τ（a，c，b，d）；
（Ⅲ）设{a_n}各项均不相等，且交换数列{a_n}中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列{a_n}一定是递增数列或递减数列．

Answer

（Ⅰ）利用新定义，计算出各项，易得a1=-1，a2=1，a3=-1，a4=1，…，…，a99=-1，a100=1，从而有τ（a1，a2，…，a100）=2×99=198；
（Ⅱ）要证τ（a，b，c，d）≤τ（a，c，b，d），即证：|a-b|+|b-c|+|c-d|≤|a-c|+|c-b|+|b-d|，即证：|a-b|+|c-d|≤|a-c|+|b-d|，由条件可得；
（Ⅲ）不失一般性，假设数列{an}中相邻两项为am-1，am则：|am-2-am-1|+|am-am+1|＜|am-2-am|+|am-1-am+1|，从而可证．
【解析】
（Ⅰ）由定义知，a1=-1，a2=1，a3=-1，a4=1，…，a99=-1，a100=1，从而有τ（a1，a2，…，a100）=2×99=198；
（Ⅱ）要证τ（a，b，c，d）≤τ（a，c，b，d），即证：|a-b|+|b-c|+|c-d|≤|a-c|+|c-b|+|b-d|，即证：|a-b|+|c-d|≤|a-c|+|b-d|，由条件（a-b）（b-c）（c-d）＞0可得；
（Ⅲ）不失一般性，假设数列{an}中相邻两项为am-1，am则：|am-2-am-1|+|am-am+1|＜|am-2-am|+|am-1-am+1|，由（Ⅱ）可知：（am-2-am-1）（am-1-am）（am-am+1）＞0，从而有数列{an}一定是递增数列或递减数列．