Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²．数列{b_n}为等比数列，且b₁=1，b₄=8．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}满足，求数列{c_n}的前n项和T_n；
（3）在（2）的条件下，数列{c_n}中是否存在三项，使得这三项成等差数列？若存在，求出此三项；若不存在，说明理由．

Answer

（1）对于数列{an}，已知Sn=n2，利用递推公式可求当n≥2时，an=Sn-Sn-1，当n=1时，a1=S1=1可求an，对于数列{bn}，是等比数列，设公比为q，及b1=1，b4=b1q3=8，可求q，进而可求bn
（2）由题意可得，=2n-1，结合数列的特点可考虑利用分组求和，结合等差数列及等比数列的求和公式可求；
（3）假设数列{cn}中存在三项cm，ck，cl成等差数列，则2ck=cl+cm，由（2）可得2（2k-1）=（2m-1）+（2l-1），变形可得2•2k=2m+2l=2m（1+2l-m），进而可变形为2k+1-m-2l-m=1，由整数的性质可得矛盾，即可以得打结论．
【解析】
（1）∵数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2，
∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-（n-1）2=2n-1．
当n=1时，a1=S1=1亦满足上式，
故an=2n-1，（n∈N*）．       
又数列{bn}为等比数列，设公比为q，
∵b1=1，b4=b1q3=8，∴q=2．
∴bn=2n-1（n∈N*）．                      
（2）．
Tn=c1+c2+c3+…cn=（21-1）+（22-1）+…+（2n-1）=（21+22+…2n）-n=．
所以 Tn=2n+1-2-n．                               
（3）假设数列{cn}中存在三项cm，ck，cl成等差数列，不妨设m＜k＜l（m，k，l∈N*）
因为 cn=2n-1，
所以 cm＜ck＜cl，且三者成等差数列．
所以 2ck=cl+cm，
即2（2k-1）=（2m-1）+（2l-1），
变形可得：2•2k=2m+2l=2m（1+2l-m）
所以 ，即2k+1-m=1+2l-m．
所以 2k+1-m-2l-m=1．
因为m＜k＜l（m，k，l∈N*），
所以 2k+1-m，2l-m均为偶数，而1为奇数，
所以等式不成立．
所以数列{cn}中不存在三项，使得这三项成等差数列．