Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=2，a₃=3，a₄=4，a₅=5，且当n≥5时，a_n+1=a₁a₂…a_n-1，若数列{b_n}满足对任意n∈N^*，有b_n=a₁a₂…a_n-a₁²-a₂²-…-a_n²，则b₅=    ；当n≥5时，b_n=    ．

Answer

在bn=a1a2…an-a12-a22-…-an2中，令n=5代入数据计算即可求出b5．由bn=a1a2…an-a12-a22-…-an2中构造出bn+1=a1a2…anan+1-a12-a22-…-an2-an+12，两式相减，并化简整理，可以判断出当n≥5时，数列{bn}的各项组成等差数列．利用等差数列通项公式求解即可．
【解析】
由已知，b5=a1a2…a5-a12-a22-…-a52
=1×2×3×4×5-（12+22+32+42+52）
=120-55
=65．
当n≥5时，由an+1=a1a2…an-1，移向得出a1a2…an-1=an+1+1  ①
∵bn=a1a2…an-a12-a22-…-an2，②
∴bn+1=a1a2…anan+1-a12-a22-…-an2-an+12   ③
③-②得bn+1-bn=a1a2…anan+1-a1a2…an-an+12   
=a1a2…an（an+1-1）-an+12    （将①式代入）
=（an+1+1）（an+1-1）-an+12=an+12-1-an+12   
=-1
∴当n≥5时，数列{bn}的各项组成等差数列，
∴bn=b5+（n-5）×（-1）=65-（n-5）=70-n．
故答案为：65   70-n