Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为BD的中点，E为PA的中点．
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求证：OE∥平面PDC；
（Ⅲ）求直线CB与平面PDC所成角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）由条件先证明四边形ABFD为正方形，由等腰三角形的性质证明PO⊥BD，由勾股定理求得PO⊥AO，从而证得PO⊥平面ABCD．
（Ⅱ）过O分别做AD，AB的平行线，以它们做x，y轴，以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出 和  的坐标，由 可得 OE∥PF，从而证得OE∥平面PDC． 
（Ⅲ） 设平面PDC的法向量为，直线CB与平面PDC所成角θ，求出一个法向量为，又，可得  和  夹角的余弦值，即为直线CB与平面PDC所成角的正弦值．
【解析】
（Ⅰ）证明：设F为DC的中点，连接BF，则DF=AB．∵AB⊥AD，AB=AD，AB∥DC，∴四边形ABFD为正方形．
∵O为BD的中点，∴O为AF，BD的交点，∵PD=PB=2，∴PO⊥BD，…..（2分）
∵=，∴=，，
在三角形PAO中，PO2+AO2=PA2=4，∴PO⊥AO，…（4分）∵AO∩BD=O，∴PO⊥平面ABCD．    …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知PO⊥平面ABCD，又AB⊥AD，所以过O分别做AD，AB的平行线，以它们做x，y轴，以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示：
由已知得：A（-1，-1，0），B（-1，1，0），D（1，-1，0）F（1，1，0），C（1，3，0），
，．
则，，，．
∴，∴OE∥PF，∵OE⊄平面PDC，PF⊂平面PDC，∴OE∥平面PDC．   …（9分）

（Ⅲ） 设平面PDC的法向量为，直线CB与平面PDC所成角θ，
则，即，解得，令z1=1，
则平面PDC的一个法向量为，又，
则，∴直线CB与平面PDC所成角的正弦值为．…（14分）