Question

数列{a_n}满足a₁=1，，其中λ∈R，n=1，2，…．
①当λ=0时，a₂₀=    ；
②若存在正整数m，当n＞m时总有a_n＜0，则λ的取值范围是    ．

Answer

①当λ=0时，an+1=an，利用累积法求通项公式后，再求a20即可．
②记bn=（n=1，2，…），则λ满足．由此可求出故λ的取值范围．
【解析】
①当λ=0时，
an+1=an，
=
∴

…
=
以上各式相乘得出
=
又a1=1，
∴an=．
a20=
②记bn=（n=1，2，），根据题意可知，且λ≠n（n∈N*），这时总存在n∈N*，满足：当n≥n时，bn＞0；
当n≤n-1时，bn＜0．所以由an+1=bnan及a1=1＞0可知，若n为偶数，
则，从而当n＞n时，an＜0；若n为奇数，则，
从而当n＞n时an＞0．因此“存在m∈N*，当n＞m时总有an＜0”
的充分必要条件是：n为偶数，
记n=2k（k=1，2，），则λ满足．
故λ的取值范围是λ∈（2k-1，2k），
故答案为：，（2k-1，2k），（k=1，2，），