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已知椭圆(a>b>0)经过点,其离心率为. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)设直线...

已知椭圆manfen5.com 满分网(a>b>0)经过点manfen5.com 满分网,其离心率为manfen5.com 满分网
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线manfen5.com 满分网与椭圆C相交于A、B两点,以线段OA,OB为邻边作平行四边形OAPB,其中顶点P在椭圆C上,O为坐标原点.求|OP|的取值范围.
(Ⅰ)先由已知可得,得出3a2=4b2①又点在椭圆C上,得到解之即得a,b.从而写出椭圆C的方程; (Ⅱ)先对k 分类讨论:当k=0时,P(0,2m)在椭圆C上,解得,所以;当k≠0时,将直线的方程代入椭圆的方程,消去y得到关于x的一元二次方程,再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得|OP|的取值范围,从而解决问题. 【解析】 (Ⅰ)由已知可得,所以3a2=4b2①(1分) 又点在椭圆C上, 所以②(2分) 由①②解之,得a2=4,b2=3. 故椭圆C的方程为.(5分) (Ⅱ)当k=0时,P(0,2m)在椭圆C上,解得, 所以.(6分) 当k≠0时,则由 消y化简整理得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0, △=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=48(3+4k2-m2)>0③(8分) 设A,B,P点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(x,y), 则.(9分) 由于点P在椭圆C上,所以.(10分) 从而,化简得4m2=3+4k2,经检验满足③式.(11分) 又 = =.(12分) 因为,得3<4k2+3≤4,有, 故.(13分) 综上,所求|OP|的取值范围是.(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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