Question

已知每项均是正整数的数列A：a₁，a₂，a₃，…，a_n，其中等于i的项有k_i个（i=1，2，3…），设b_j=k₁+k₂+…+k_j（j=1，2，3…），g（m）=b₁+b₂+…+b_m-nm（m=1，2，3…）．
（Ⅰ）设数列A：1，2，1，4，求g（1），g（2），g（3），g（4），g（5）；
（Ⅱ）若数列A满足a₁+a₂+…+a_n-n=100，求函数g（m）的最小值．

Answer

（I）因为数列k1，k2，k3，k4的值已知，所以b1，b2，b3，b4由公式bj=k1+k2+…kj（j=1，2，3…）求得，所以g（1），g（2），g（3），g（4）由公式g（m）=b1+b2+…bm-100m（m=1，2，3…）求得；
（II）由题意，g（m）=b1+b2+…bm-100m，g（m+1）=b1+b2+…bm+bm+1-100（m+1），作差比较，得g（m+1）-g（m）=bm+1-100，由bj的含义，知bm+1≤100，故得g（m+1），g（m）的大小，又a1，a2，a3，…，a100中最大的项为50，知当m≥50时bm=100，所以，当1＜m＜49时，有g（m）＞g（m+1）；当m≥49时，有g（m）=g（m+1）；可设{a1，a2，…a100}中的最大值为M，则由（II）知，g（m）的最小值为g（M），计算出g（M）的值即为g（m）最小值．
【解析】
（1）根据题设中有关字母的定义，k1=2，k2=1，k3=0，k4=1，kj=0（j=5，6，7）
b1=2，b2=2+1=3，b3=2+1+0=3，b4=4，bm=4（m=5，6，7，）

（2）一方面，g（m+1）-g（m）=bm+1-n，根据“数列A含有n项”及bj的含义知bm+1≤n，
故g（m+1）-g（m）≤0，
即g（m）≥g（m+1）①（7分）
另一方面，设整数M=maxa1，a2，，an，则当m≥M时必有bm=n，
所以g（1）≥g（2）≥≥g（M-1）=g（M）=g（M+1）=所以g（m）的最小值为g（M-1）．（9分）
下面计算g（M-1）的值：g（M-1）=b1+b2+b3++bM-1-n（M-1）
=（b1-n）+（b2-n）+（b3-n）++（bM-1-n）
=（-k2-k3--kM）+（-k3-k4--kM）+（-k4-k5--kM）++（-kM）
=-[k2+2k3++（M-1）kM]
=-（k1+2k2+3k3++MkM）+（k1+k2++kM）
=-（a1+a2+a3++an）+bM
=-（a1+a2+a3+..+an）+n（12分）
∵a1+a2+a3++an-n=100，
∴g（M-1）=-100，
∴g（m）最小值为-100．（13分）