Question

张先生家住H小区，他在C科技园区工作，从家开车到公司上班有L₁，L₂两条路线（如图），L₁路线上有A₁，A₂，A₃三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L₂路线上有B₁，B₂两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．
（Ⅰ）若走L₁路线，求最多遇到1次红灯的概率；
（Ⅱ）若走L₂路线，求遇到红灯次数X的数学期望；
（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．
关于概率统计问题，几次考查都没有将概率与统计图表结合起来，请老师们注意，在复练时要有意识的进行练习．

Answer

（Ⅰ）设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件，再根据题意求出其发生的概率为，即可得到答案．
（Ⅱ）依题意，X的可能取值为0，1，2．结合题意分别求出其发生的概率，即可得到随机变量X的分布列，进而求出X的期望．
（Ⅲ）根据题意可得：选择L1路线遇到红灯次数为Y，并且随机变量Y服从二项分布，即可根据有关公式求出Y的数学期望，进而能够做出正确的选择．
【解析】
（Ⅰ）设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件，
则．                                  …（4分）
所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为．
（Ⅱ）依题意，X的可能取值为0，1，2．  …（5分）
所以，，．                                   …（8分）
所以随机变量X的分布列为：

X 1 2
P

所以．                                  …（10分）
（Ⅲ）设选择L1路线遇到红灯次数为Y，随机变量Y服从二项分布，，
所以．                                                 …（12分）
因为EX＜EY，所以选择L2路线上班最好．                             …（14分）