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已知平行四边形ABCD中,AB=6,AD=10,BD=8,E是线段AD的中点.沿...

已知平行四边形ABCD中,AB=6,AD=10,BD=8,E是线段AD的中点.沿BD将△BCD翻折到△BC'D,使得平面BC'D⊥平面ABD.
(Ⅰ)求直线BD与平面BEC'所成角的正弦值;
(Ⅱ)求二面角D-BE-C'的余弦值.

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(Ⅰ)先证明C'D⊥平面ABD,以D为原点,建立空间直角坐标系D-xyz.推出点D、A、B、C'的坐标,求出,通过求出平面BEC'法向量为,利用求直线BD与平面BEC'所成角的正弦值; (Ⅱ)利用(Ⅰ)平面BEC'法向量为,以及平面DBE的法向量,通过,求二面角D-BE-C'的余弦值. 【解析】 (Ⅰ)平行四边形ABCD中,AB=6,AD=10,BD=8, 沿直线BD将△BCD翻折成△BC'D 可知CD=6,BC’=BC=10,BD=8, 即BC'2=C'D2+BD2,故CD⊥BD,C'D⊥BD. ∵平面BC'D⊥平面ABD,平面BC'D∩平面ABD=BD,C'D⊂平面BC'D, ∴C'D⊥平面ABD.              …(4分) 如图,以D为原点,建立空间直角坐标系D-xyz. 则D(0,0,0),A(8,6,0),B(8,0,0),C'(0,0,6). ∵E是线段AD的中点,∴E(4,3,0),. 在平面BEC'中,,, 设平面BEC'法向量为, ∴,即, 令x=3,得y=4,z=4,故. 设直线BD与平面BEC'所成角为θ,则. ∴直线BD与平面BEC'所成角的正弦值为.     …(9分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知平面BEC'的法向量为,而平面DBE的法向量为, ∴, 因为二面角D-BE-C'为锐角, 所以二面角D-BE-C'的余弦值为. …(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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