Question

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，=（S_n，1），=，．
（Ⅰ）求证：为等差数列；
（Ⅱ） 若，问是否存在n，对于任意k（k∈N^*），不等式成立．

Answer

（Ⅰ）根据，利用向量的数量积公式，可得，再写一式，两式相减，整理可得是以-2为首项，-1为公差的等差数列；
（Ⅱ）确定数列的通项，令bn+1≥bn，即可知bn的最大值，由此可得结论．
（Ⅰ）证明：∵，=（Sn，1），=，
∴，
∴
两式相减，整理可得，∴，
又n=1时，，∴a1=-4，∴=-2
∴是以-2为首项，-1为公差的等差数列
（Ⅱ）【解析】
由（Ⅰ）知，
∴，
令bn+1≥bn，
∴（2012-n）2n+1≥（2013-n）2n，
∴n≤2011
∴bn的最大值为，
∴存在n=2011或2012，对于任意k（k∈N*），不等式成立．