Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=∠PAD=
90°，侧面PAD⊥底面ABCD．若．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求二面角A-PD-C的余弦值．

Answer

（I）由已知易得，AB，AD，AP两两垂直．分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，分别求出各顶点的坐标，然后求出直线CD的方向向量及平面PAC的法向量，代入向量夹角公式，即可得到答案．
（II）设侧棱PA的中点是E，我们求出直线BE的方向向量及平面PCD的法向量，代入判断及得E点符合题目要求；
（III）求现平面APD的一个法向量及平面PCD的一个法向量，然后代入向量夹角公式，即可求出二面角A-PD-C的余弦值．
【解析】
因为∠PAD=90°，所以PA⊥AD．又因为侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD=AD，所以PA⊥底面ABCD．又因为∠BAD=90°，
所以AB，AD，AP两两垂直．分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图．
设AD=2，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）．
（Ⅰ）证明：，，，
所以，，所以AP⊥CD，AC⊥CD．
又因为AP∩AC=A，所以CD⊥平面PAC．（4分）
（Ⅱ）设侧棱PA的中点是E，则，．
设平面PCD的一个法向量是n=（x，y，z），则
因为，，
所以取x=1，则n=（1，1，2）．
所以，所以．
因为BE⊄平面PCD，所以BE∥平面PCD．（8分）
（Ⅲ）由已知，AB⊥平面PAD，所以为平面PAD的一个法向量．
由（Ⅱ）知，n=（1，1，2）为平面PCD的一个法向量．
设二面角A-PD-C的大小为θ，由图可知，θ为锐角，
所以．
即二面角A-PD-C的余弦值为．（13分）