Question

如图所示，PA垂直矩形ABCD所在的平面，E、F分别为AB、PC的中点．
（Ⅰ） 求证EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求证EF⊥CD．

Answer

（I）取PD中点G，连接AG、FG，利用三角形中位线定理，我们易判断四边形AEFG是平行四边形，AG∥EF，进而结合线面平行的判定定理，我们易得到EF∥平面PAD；
（Ⅱ）由已知中PA垂直矩形ABCD所在的平面，我们易得到PA⊥CD，AD⊥CD，结合线面垂直的判定定理，我们易得CD⊥平面PAD，进而得到EF⊥CD．
证明：（Ⅰ）取PD中点G，连接AG、FG，
因为EF分别为AB、PC的中点，
所以AE=AB，GF∥DC且GF=DC，（2分）
又在矩形ABCD中AB∥CD且AB=CD，
所以AE∥GF且AE=GF，
所以四边形AEFG是平行四边形，
所以AG∥EF且AG=EF（5分）
又，AG⊂平面PAD，EF⊄平面PAD．
所以EF∥平面PAD（7分）
（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥CD在，矩形ABCD中AD⊥CD
又PA∩AD=A，
所以CD⊥平面PAD，（11分）
因为AG⊂平面PAD，
所以CD⊥AG，
因为AG∥EF
所以EF⊥CD（13分）