Question

已知曲线y=ax³+bx²+cx+d满足下列条件：
①过原点；②在x=0处导数为-1；③在x=1处切线方程为y=4x-3．
（Ⅰ） 求实数a、b、c、d的值；
（Ⅱ）求函数y=ax³+bx²+cx+d的极值．

Answer

（I）欲求实数a、b、c、d的值，利用在x=0处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（II）把（1）求出的实数a、b、c、d的值代入导函数中确定出解析式，令导函数等于0求出x的值，根据x的值分区间讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间，得到函数的极大值和极小值．
解（Ⅰ）y′=3ax2+2bx+c根据条件有
解得（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）y=x3+x2-x，y′=3x2+2x-1，（7分）
y′=0x=或-1（9分）
x，y，y′的关系如表所示

x （-∞，-1） -1 （-1，） （．+∞）
y′ + - +
y ↑ 极大值1 ↓ 极小 ↑

因此函数y=x3+x2-x在x=-1处有极大值1，在x=处有极小值-．（13分）