Question

已知双曲线-=1（b∈N^*） 的两个焦点为F₁、F₂，P是双曲线上的一点，且满足|PF₁|-|PF₂|=|F₁F₂|²，|PF₂|＜4，
（I）求b的值；
（II）抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F与该双曲线的右顶点重合，斜率为1的直线经过点F与该抛物线交于A、B两点，求弦长|AB|．

Answer

（I）利用双曲线的方程得到a，利用双曲线的定义得到，||PF1|-|PF2||=4，将它与已知等式联立得到关于|PF2|的方程
由于|PF2|＜4，所以该方程在（0，4）上有解，得到c的范围从而得到b的范围，据b是自然数，求出b的值．
（II）求出抛物线方程与直线方程，将直线方程与抛物线方程联立，解方程组，求出交点坐标，利用两点距离公式求出弦长|AB|．
解（I）根据题意a2=4，即a=2，
又，a2+b2=c2，||PF1|-|PF2||=2a=4，
又|PF1|•|PF2|=|F1F2|2=4c2，|PF2|＜4，得
|PF2|2+4|PF2|-4c2=0在区间（0，4）上有解，即4c2=|PF2|2+4|PF2|有解
又|PF2|＜4，故|PF2|2+4|PF2|＜32
所以c2＜8
因此b2＜4，又b∈N*，
所以b=1
（II）双曲线方程为，
右顶点坐标为（2，0），即F（2，0）
所以抛物线方程为y2=8x （1）
直线方程为y=x-2 （2）
由（1）（2）两式联立，
解得和
所以弦长|AB|==16