Question

（I）已知a₁，a₂∈R，a₁+a₂=1，求证：a₁²+a₂²≥；
（II）若a₁，a₂，…a_n∈R，a₁+a₂+…+a_n=1，求证：a₁²+a₂²+…+a_n²≥．

Answer

（I）构造函数f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2=2x2-2x+a12+a22，因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△≤0，从而得结论；
（II）由已知中已知a1，a2∈R，a1+a2=1，求证a12+a22 ，及整个式子的证明过程，我们根据归纳推理可以得到一个一般性的公式，若a1，a2，…，an∈R，a1+a2+…+an=1，则a12+a22+…+an2≥，但此公式是由归纳推理得到的，其正确性还没有得到验证，观察已知中的证明过程，我们可以类比对此公式进行证明．
（I）证明：构造函数f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2=2x2-2x+a12+a22
因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，
所以△=4-8（a12+a22）≤0，从而得a12+a22 ，
（II）证明：构造函数
f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2+…+（x-an）2
=nx2-2（a1+a2+…+an）x+a12+a22+…+an2
=2x2-2x+a12+a22+…+an2
因为对一切x∈R，都有f（x）≥0，所以△=4-4n（a12+a22+…+an2）≤0
从而证得：a12+a22+…+an2≥