Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．，c=2bcosA．
（Ⅰ）求证：A=B；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=，求c的值．

Answer

（Ⅰ）利用正弦定理化简c=2bcosA，再根据三角形的内角和定理及诱导公式得到sinC=sin（A+B），将得出的sinC代入化简后的式子中，利用两角和与差的正弦函数公式化简，移项合并整理后，再根据两角和与差的正弦函数公式得到sin（A-B）=0，根据A和B为三角形的内角，得出A-B的范围，即可得到A-B=0，即A=B，得证；
（Ⅱ）根据第一问得出的A=B，根据等角对等边可得a=b，由cosC的值及C为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，利用面积公式表示出三角形ABC的面积，把已知三角形的面积及sinC的值代入求出ab的值，再根据a与b相等，可求出a与b的值，由a，b及cosC的值，利用余弦定理列出关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．
【解析】
（Ⅰ）∵c=2bcosA，
∴根据正弦定理得：sinC=2sinB•cosA，
又sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B），
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=2sinB•cosA，
整理得：sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B）=0，
在△ABC中，
∵0＜A＜π，0＜B＜π，
∴-π＜A-B＜π，
则A=B；（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）A=B，可得a=b，
∵，且C为三角形的内角，
∴sinC==，
又△ABC的面积S=，
∴S=absinC=ab=，
即ab=a2=25，
∴a=b=5，又cosC=，
由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC=10，
则．（13分）