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已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形.PB=PD,E为PA的中点. (Ⅰ)求证:P...

已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形.PB=PD,E为PA的中点.
(Ⅰ)求证:PC∥平面BDE;
(Ⅱ)求证:平面PAC⊥平面BDE.

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(I)设菱形对角线的交点为O,连接EO,可得OE是三角形APC的中位线,得到EO∥PC,结合直线与平面平行的判定定理,得到PC∥平面BDE; (II)连接PO,利用等腰三角形的中线与高合一,得到OP⊥BD.再根据菱形ABCD中,BD⊥AC,结合直线与平面垂直的判定定理,得到BD⊥平面PAC.最后用平面与平面垂直的判定定理,得到平面PAC⊥平面BDE. 【解析】 (Ⅰ)设O为AB、CD的交点,连接EO ∵E,O分别为PA,AC的中点, ∴EO∥PC. ∵EO⊂平面BDE,PC⊄平面BDE ∴PC∥平面BDE.…(6分) (Ⅱ)证明:连接OP ∵PB=PD,O为BD的中点 ∴OP⊥BD. 又∵在菱形ABCD中,BD⊥AC 且OP∩AC=O ∴BD⊥平面PAC ∵BD⊂平面BDE ∴平面PAC⊥平面BDE.  …(13分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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