Question

已知函数f（x）=x³+ax²-x+c，且．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设函数g（x）=（f（x）-x³）•e^x，若函数g（x）在x∈[-3，2]上单调递增，求实数c的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由f（x）=x3+ax2-x+c，得f'（x）=3x2+2ax-1．当时，得，由此能求出a的值．
（Ⅱ）因为f（x）=x3-x2-x+c，从而，列表讨论，能求出f（x）的单调递增区间和f（x）的单调递减区间．
（Ⅲ）函数g（x）=（f（x）-x3）•ex=（-x2-x+c）•ex，有g'（x）=（-2x-1）ex+（-x2-x+c）ex=（-x2-3x+c-1）ex，
因为函数在区间x∈[-3，2]上单调递增，等价于h（x）=-x2-3x+c-1≥0在x∈[-3，2]上恒成立，由此能求出实数c的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）由f（x）=x3+ax2-x+c，得f'（x）=3x2+2ax-1．
当时，得，
解之，得a=-1．…（4分）
（Ⅱ）因为f（x）=x3-x2-x+c．
从而，
由=0，得，
列表如下：

x 1 （1，+∞）
f'（x） + - +
f（x） ↗ 有极大值 ↘ 有极小值 ↗

所以f（x）的单调递增区间是和（1，+∞）；
f（x）的单调递减区间是．…（9分）
（Ⅲ）函数g（x）=（f（x）-x3）•ex=（-x2-x+c）•ex，
有g'（x）=（-2x-1）ex+（-x2-x+c）ex=（-x2-3x+c-1）ex，
因为函数在区间x∈[-3，2]上单调递增，
等价于h（x）=-x2-3x+c-1≥0在x∈[-3，2]上恒成立，
只要h（2）≥0，解得c≥11，
所以c的取值范围是c≥11．…（14分）