Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若过点P（0，m）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且，求实数m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由题设条件知，由此能求出椭圆方程． 
（Ⅱ）若过点P（0，m）的斜率不存在，则．若过点P（0，m）的直线斜率为k，即：时，直线AB的方程为y-m=kx．由，△=64m2k2-4（3+4k2）（4m2-12）．因为AB和椭圆C交于不同两点，所以△＞0．由此能求出实数m的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）设所求的椭圆方程为：
由题意：
所求椭圆方程为：．…（5分）
（Ⅱ）若过点P（0，m）的斜率不存在，则．
若过点P（0，m）的直线斜率为k，
即：时，
直线AB的方程为y-m=kx
由，
△=64m2k2-4（3+4k2）（4m2-12），
因为AB和椭圆C交于不同两点，
所以△＞0，4k2-m2+3＞0，
所以4k2＞m2-3    ①
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由已知，
则    ②
-x1=3x2 ③
将③代入②得：
整理得：16m2k2-12k2+3m2-9=0
所以代入①式，
得，
解得．
所以或．
综上可得，实数m的取值范围为：．…（14分）