Question

对于n∈N^*（n≥2），定义一个如下数阵：
其中对任意的1≤i≤n，1≤j≤n，当i能整除j时，a_ij=1；当i不能整除j时，a_ij=0．
（Ⅰ）当n=4时，试写出数阵A₄₄；
（Ⅱ）设．若[x]表示不超过x的最大整数，
求证：=．

Answer

（Ⅰ）依题意对任意的1≤i≤n，1≤j≤n，当i能整除j时，aij=1；当i不能整除j时，aij=0可得数阵A44；
（Ⅱ）t（j）是数阵Ann的第j列的和，则是数阵Ann所有数的和，按行相加，根据数阵Ann的第i行中有个1，其余是0，即第i行的和为，可证得结论．
【解析】
（Ⅰ）依题意可得，…（4分）
（Ⅱ）由题意可知，t（j）是数阵Ann的第j列的和，
因此是数阵Ann所有数的和．
而数阵Ann所有数的和也可以考虑按行相加．
对任意的1≤i≤n，不超过n的倍数有1i，2i，…，．
因此数阵Ann的第i行中有个1，其余是0，即第i行的和为．
所以=．…（13分）