Question

等差数列{a_n}中，a₁=1，前n项和为S_n，等比数列{b_n}各项均为正数，b₁=2，且s₂+b₂=7，s₄-s₃=2．
（1）求a_n与b_n；
（2）设c_n=，T_n=c₁•c₂•c₃…c_n   求证：T（n∈N^*）．

Answer

（1）设等差数列{a1}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由题知：s2+b2=7，s4-b3=2，由此能求出an与bn．
（2）由cn=，知，故Tn=．再用数学归纳法证明对一切正整数成立．
【解析】
（1）设等差数列{a1}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
由题知：s2+b2=7，s4-b3=2，
∴d+2q=5，3d-q2+1=0，
解得，q=2或q=-8（舍去），d=1，
∴an=1+（n-1）=n，bn=2n．
（2）证明：∵cn=，
∴，
Tn=．
下面用数学归纳法证明对一切正整数成立．
①当n=1时，，命题成立．
②假设当n=k时，命题当n=k时命题成立，
∴．
则当n=k+1时，≥•=
=，这就是说当n=k+1时命题成立．
综上所述原命题成立．