Question

已知三次函数f（x）=ax³+bx²+cx（a，b，c∈R）．
（1）若函数f（x）过点（-1，2）且在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0，求函数f（x）的解析式；
（2）当a=1时，若-2≤f（-1）≤1，-1≤f（1）≤3，试求f（2）的取值范围；
（3）对∀x∈[-1，1]，都有|f′（x）|≤1，试求实数a的最大值，并求a取得最大值时f（x）的表达式．

Answer

（1）由题意可得f（-1）=-a+b-c=2，①，即②，由①②可解得得a、b、c的值，可写解析式；
（2）由f（1）=1+b+c，f（-1）=-1+b-c可知f（2）=8+4b+2c=3f（1）+f（-1）+6，求得-2≤f（-1）≤1，-1≤f（1）≤3整体利用可求f（2）的范围；
（3）∀x∈[-1，1]，都有|f′（x）|≤1，可知|f′（-1）|≤1，|f′（0）|≤1，|f′（1）|≤1，及6a=f′（-1）+f′（1）-2f′（0）可求a的最大值，由此可解bc的值，即得答案．
【解析】
（1）∵函数f（x）过点（1，-2），∴f（-1）=-a+b-c=2，①
由f′（x）=3ax2+2bx+c，函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y+2=0
∴，∴，②
由①和②解得，故f（x）=x3-3x；
（2）当a=1时，f（x）=x3+bx2+cx，∴f（1）=1+b+c，f（-1）=-1+b-c
可得：c=-1，b=∴f（2）=8+4b+2c=3f（1）+f（-1）+6
又由题意-2≤f（-1）≤1，-1≤f（1）≤3，∴-3≤3f（1）≤9，
故1≤3f（1）+f（-1）+6≤16，
即1≤f（2）≤16．
（3）∵f′（x）=3ax2+2bx+c，则，可得6a=f′（-1）+f′（1）-2f′（0）
∵当-1≤x≤1时，|f′（x）|≤1，∴|f′（-1）|≤1，|f′（0）|≤1，|f′（1）|≤1
∴6|a|=|f′（-1）+f′（1）-2f′（0）|≤|f′（-1）+f′（1）+2f′（0）|≤4
∴a，故a的最大值，
当a=时，，解得，
∴a取得最大值时f（x）=x3-x．