Question

已知MA，MB是曲线C：y=的两条切线，其中A，B是切点，
（I）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；
（II）若直线AB过曲线C的焦点F，求△MAB面积的最小值．

Answer

（I）对曲线C，进行求导，求出直线MA的方程和直线MB的方程，只要证明点M的中点横坐标为A、B横坐标的一般即可；
（II）将直线AB与曲线C联立，求出AB的长，得M的中点坐标，再根据点到直线的距离，求出点M到直线AB的距离，求出△MAB面积关于k的表达式；
【解析】
（I）证明：y′=x，设A（x1，y1），B（x2，y2）；
直线MA的方程为y-y1=x1（x-x1）①，直线MB的方程为y-y2=x2（x-x2）②，
①-②得：点M的横坐标x=，所以点A，M，B的横坐标成等比数列，
（II）焦点F的坐标为（0，1），显然直线AB的斜率是存在的；
设直线AB的方程为y=kx+1
将直线AB的方程代入y=x2得：x2-4kx-4=0（△＞0）
|AB|=4（1+k2），且xM=2k，又由①②得：yM=x1x2=-1，
从而点M到直线AB的距离d=2，
S△MAB=4≥4  当且仅当k=0时取等号；
故△MAB面积的最小值为4；