Question

已知数列{a_n}，{b_n}，且满足a_n+1-a_n=b_n（n=1，2，3，…）．
（1）若a₁=0，b_n=2n，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n+1+b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2．记c_n=a_6n-1（n≥1），求证：数列{c_n}为常数列；
（3）若b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2．若数列{}中必有某数重复出现无数次，求首项a₁应满足的条件．

Answer

（1）利用“累加求和”和等差数列的前n项和公式即可求出；
（2）通过已知条件先探究数列{bn}是一个以6为周期的循环数列，进而即可证明数列{cn}为常数列．
（3）由条件探索出：数列{a6n+i}均为以7为公差的等差数列，求出，及其单调性，通过对ai分类讨论即可得出结论．
【解析】
（1）当n≥2时，有
an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）
=a1+b1+b2+…+bn-1
=2×1+2×2+…+2×（n-1）
=2×=n2-n，又当n=1时此式也成立．
∴数列{an}的通项为．
（2）∵bn+1+bn-1=bn（n≥2），
∴对任意的n∈N*有bn+6=bn+5-bn+4=-bn+3=bn+1-bn+2=bn，
∴数列{bn}是一个以6为周期的循环数列
又∵b1=1，b2=2，
∴b3=b2-b1=1，b4=b3-b2=-1，b5=b4-b3=-2，b6=b5-b4=-1．
∴cn+1-cn=a6n+5-a6n-1=a6n+5-a6n+4+a6n+4-a6n+3+…+a6n-a6n-1
=b6n+4+b6n+3+b6n+2+b6n+1+b6n+b6n-1=b4+b3+b2+b1+b6+b5
=-1+1+2+1-1+-2=0（n≥1），
所以数列{cn}为常数列．
（3）∵bn+1bn-1=bn（n≥2），且b1=1，b2=2，
∴b3=2，b4=1，，，
且对任意的n∈N*，有=，
设cn=a6n+i（n≥0），（其中i为常数且i∈{1，2，3，4，5，6}，
∴cn+1-cn=a6n+6+i-a6n+i=b6n+i+b6n+i+1+b6n+i+2+b6n+i+3+b6n+i+4+b6n+i+5
=b1+b2+b3+b4+b5+b6
=1+2+2+1+=7（n≥0）．
所以数列{a6n+i}均为以7为公差的等差数列．
记，则==，
（其中n=6k+i，k≥0，i为{1，2，3，4，5，6}中的一个常数），
当时，对任意的n=6k+i有；
当时，fk+1-fk=
=
=，
①若，则对任意的k∈N有fk+1＜fk，数列{}为单调减数列；
②若，则对任意的k∈N有fk+1＞fk，数列{}为单调增数列；
综上，当且i∈{1，2，3，4，5，6}时，数列{}中必有某数重复出现无数次
当i=1时，符合要求；当i=2时，符合要求，
此时的；
当i=3时，符合要求，
此时的，；
当i=4时，=符合要求，
此时的；
当i=5时，符合要求，
此时的；
当i=6时，符合要求，
此时的a1=a6-b5-b4-b3-b2-b1=；
即当a1∈{，，，，}时，
数列{}中必有某数重复出现无数次．