Question

已知函数f（x）=ln（2ax+1）+-x²-2ax（a∈R）．
（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；
（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（3）当a=-时，方程f（1-x）=有实根，求实数b的最大值．

Answer

（1）先对函数求导，由x=2为f（x）的极值点，可得f'（2）=0，代入可求a
（2）由题意可得在区间[3，+∞）上恒成立，①当a=0时，容易检验是否符合题意，②当a≠0时，由题意可得必须有2ax+1＞0对x≥3恒成立，则a＞0，从而2ax2+（1-4a）x-（4a2+2）≥0对x∈[3，+∞0上恒成立．考查函数g（x）=2ax2+（1-4a）x-（4a2+2），结合二次函数的性质可求
（3）由题意可得．问题转化为b=xlnx-x（1-x）2+x（1-x）=xlnx+x2-x3在（0，+∞）上有解，即求函数g（x）=xlnx+x2-x3的值域．
方法1：构造函数g（x）=x（lnx+x-x2），令h（x）=lnx+x-x2（x＞0），对函数h（x）求导，利用导数判断函数h（x）的单调性，进而可求
方法2：对函数g（x）=x（lnx+x-x2）求导可得g'（x）=lnx+1+2x-3x2．由导数知识研究函数p（x）=lnx+1+2x-3x2，的单调性可求函数g（x）的零点，即g'（x）=0，从而可得函数g（x）的单调性，结合，可知x→0时，lnx+＜0，则g（x）＜0，又g（1）=0可求b的最大值
【解析】
（1）=．…（1分）
因为x=2为f（x）的极值点，所以f'（2）=0．…（2分）
即，解得a=0．…（3分）
又当a=0时，f'（x）=x（x-2），从而x=2为f（x）的极值点成立．…（4分）
（2）因为f（x）在区间[3，+∞）上为增函数，
所以在区间[3，+∞）上恒成立．…（5分）
①当a=0时，f'（x）=x（x-2）≥0在[3，+∞）上恒成立，所以fx）在[3，+∞上为增函数，故a=0符合题意．…（6分）
②当a≠0时，由函数f（x）的定义域可知，必须有2ax+1＞0对x≥3恒成立，故只能a＞0，
所以2ax2+（1-4a）x-（4a2+2）≥0对x∈[3，+∞0上恒成立．…（7分）
令g（x）=2ax2+（1-4a）x-（4a2+2），其对称轴为，…（8分）
因为a＞0所以，从而g（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可，
因为g（3）=-4a2+6a+1≥0，
解得．…（9分）
因为a＞0，所以．
综上所述，a的取值范围为．…（10分）
（3）若时，方程x＞0可化为，．
问题转化为b=xlnx-x（1-x）2+x（1-x）=xlnx+x2-x3在（0，+∞）上有解，
即求函数g（x）=xlnx+x2-x3的值域．…（11分）
以下给出两种求函数g（x）值域的方法：
方法1：因为g（x）=x（lnx+x-x2），令h（x）=lnx+x-x2（x＞0），
则，…（12分）
所以当0＜x＜1，h′（x）＞0，从而h（x）在（0，1）上为增函数，
当x＞1，h′（x）＜0，从而h（x'）在（1，+∞上为减函数，…（13分）
因此h（x）≤h（1）=0．
而，故b=x•h（x）≤0，
因此当x=1时，b取得最大值0．…（14分）
方法2：因为g（x）=x（lnx+x-x2），所以g'（x）=lnx+1+2x-3x2．
设p（x）=lnx+1+2x-3x2，则．
当时，p'（x）＞0，所以p（x）在上单调递增；
当时，p'（x）＜0，所以p（x）在上单调递减；
因为p（1）=0，故必有，又，
因此必存在实数使得g'（x）=0，
∴当0＜x＜x时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，x）上单调递减；
当x＜x＜1，g′（x）＞0，所以，g（x）在（1，+∞）上单调递减；
又因为，
当x→0时，lnx+＜0，则g（x）＜0，又g（1）=0．
因此当x=1时，b取得最大值0．…（14分）