Question

若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，而在I上是减函数，则称y=f（x）在I上是“弱增函数”
（1）请分别判断f（x）=x+4，g（x）=x²+4x+2在x∈（1，2）是否是“弱增函数”，并简要说明理由．
（2）若函数（θ、b是常数）在（0，1]上是“弱增函数”，请求出θ及正数b应满足的条件．

Answer

（1）依据“弱增函数”的定义逐个判断即可；
（2）由于h（x）在（0，1]上是“弱增函数”，所以h（x）在（0，1]上单调递增，在（0，1]上单调递减，由此可求出θ及正数b满足的条件．
【解析】
（1）由于f（x）=x+4在（1，2）上是增函数，且F（x）=在（1，2）上是减函数，
所以f（x）=x+4在（1，2）上是“弱增函数”；
g（x）=x2+4x+2在（1，2）上是增函数，但+在（1，2）上不单调，所以g（x）=x2+4x+2在（1，2）上不是“弱增函数”．
（2）因为（θ、b是常数）在（0，1]上是“弱增函数”
所以在（0，1]上是增函数，且F（x）=在（0，1]上是减函数，
由在（0，1]上是增函数，得h′（x）≥0即2x+（sinθ-）≥0在（0，1]上恒成立，
所以，得sinθ，解得θ∈[2kπ+，2kπ+]，k∈Z．
由F（x）=在（0，1]上是减函数，得F′（x）≤0在（0，1]上恒成立，即1-≤0，b≥x2在（0，1]上恒成立，
所以b≥1．
综上所述，b≥1且时，h（x）在（0，1]上是“弱增函数”．