Question

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长为2，底面△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，AC=2，D是A A₁的中点．
（Ⅰ）求异面直线AB和C₁D所成的角（用反三角函数表示）；
（Ⅱ）若E为AB上一点，试确定点E在AB上的位置，使得A₁E⊥C₁D；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求点D到平面B₁C₁E的距离．

Answer

（Ⅰ）法一：利用平行四边形的性质把其中一条平移及异面直线所成的角的定义、三角形中的三角函数的计算即可求出；
法二：建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量所成的角即可求出异面直线所成的角；
（Ⅱ）法一：过C1作C1M⊥A1B1，垂足为M，则M为A1B1的中点，且C1M⊥平面AA1B1B．连接DM，利用三垂线定理即可找出点E的位置；
法二：过E作EN⊥AC，垂足为N，则EN⊥平面AA1C1C，连接A1N．利用三垂线定理即可证明；
法三：建立空间直角坐标系，利用⇔=0即可求出；
（Ⅲ）法一：利用线面、面面垂直的判定和性质即可求出；
法二：利用“等积变形”即可求出．
（Ⅰ）法一：取CC1的中点F，连接AF，BF，则AF∥C1D．
∴∠BAF为异面直线AB与C1D所成的角或其补角．
∵△ABC为等腰直角三角形，AC=2，∴AB=．
又∵CC1=2，∴AF=BF=．
∵cos∠BAF==，
∴∠BAF=，
即异面直线AB与C1D所成的角为．
法二：以C为坐标原点，CB，CA，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，2，0），B（2，0，0），
C1（0，0，2），D（0，2，1），
∴=（2，-2，0），=（0，2，-1）．由于异面直线AB与C1D所成的角
为向量与的夹角或其补角．设与夹角为θ，
则cosθ==，θ=，
即异面直线AB与C1D所成的角为arccosθ．
（Ⅱ）法一：过C1作C1M⊥A1B1，垂足为M，则M为A1B1的中点，且C1M⊥平面AA1B1B．连接DM．
∴DM即为C1D在平面AA1B1B上的射影．要使得A1E⊥C1D，由三垂线定理知，只要A1E⊥DM．
∵AA1=2，AB=2，由计算知，E为AB的中点．
法二：过E作EN⊥AC，垂足为N，则EN⊥平面AA1C1C．
连接A1N．∴A1N即为A1E在平面AA1C1C上的射影．要使得A1E⊥C1D，由三垂线定理知，只要A1N⊥C1D．
∵四边形AA1C1C为正方形，∴N为AC的中点，∴E点为AB的中点．
法三：以C为坐标原点，CB，CA，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A1（0，2，2），B（2，0，0），A（0，2，0），
C1（0，0，2），D（0，2，1），
设E点的坐标为（x，y，0），
要使得A1E⊥C1D，
只要=0，∵=（x，y-2，-2），=（0，2，-1），y=1．
又∵点E在AB上，∴，
，．
∴x=1．
∴E（1，1，0）．
∴E点为AB的中点．
（Ⅲ）法一：取AC中点N，连接EN，C1N，
则EN∥B1C1．∵B1C1⊥平面AA1C1C，∴面B1C1NE⊥平面AA1C1C．
过点D作DH⊥C1N，垂足为H，则DH⊥平面B1C1NE，
∴DH的长度即为点D到平面B1C1E的距离．
在正方形AA1C1C中，由计算知DH=，即点D到平面B1C1E的 距离．
法二：连接DE，DB1．
在三棱锥D-B1C1E中，点C1到平面DB1E的距离
=，B1E=，DE=，
又B1E⊥DE，∴△DB1E的面积==，
∴三棱锥C1-DB1E的体积为==1．
设点D到平面B1C1E的距离为d，在△B1C1E中，B1C1=2，B1E=C1E=，
∴△B1C1E的面积==．由=1，
得d=，即点D到平面B1C1E的距离．