Question

已知三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，侧棱长都相等，半径为2的球O过三棱锥P-ABC的四个顶点，则PA=    ．

Answer

设P在底面的射影是E，延长AE交BC于D，连接PD、OA、OB、OC．因为△ABC是等边三角形且侧棱长都相等，所以三棱锥P-ABC是正三棱锥，因此Rt△AOE中算出OE=1，再在Rt△PAE中，运用勾股定理即可算出PA的长度．
【解析】
根据题意，三棱锥P-ABC是正三棱锥，设P在底面的射影是E
延长AE交BC于D，连接PD、OA、OB、OC
∵，△ABC是边长为3的等边三角形，
∴AE=AB=，DE=
∵半径为2的球O过三棱锥P-ABC的四个顶点，
∴球心O在PE上，设OE=x
则AO==2，得（）2+x2=4，解得x=1（舍负）
∴PE=PO±OE=1或3
因此，Rt△PAE中，PA==2或2
故答案为：2或2