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满分5
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高中数学试题
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设α、β为锐角,且=(sinα,-cosα),=(-cosβ,sinβ),=(,...
设α、β为锐角,且
=(sinα,-cosα),
=(-cosβ,sinβ),
=(
,
),求
•
和cos(α+β)的值.
由和的坐标,表示出+,由已知列出关系式,根据对应的坐标相等得出两个关系式,把两关系式两边平方并左右两边相加后,利用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正弦函数公式化简,求出sin(α+β)的值,然后由两向量的坐标,利用平面向量的数量积运算法则化简•后,将求出的sin(α+β)的值代入即可求出•的值;由sinα-cosβ的值大于0,移项并利用诱导公式变形后,由α、β均为锐角,根据正弦函数的单调性得出α+β的范围,由sin(α+β)的值,利用同角三角函数的基本关系即可求出cos(α+β)的值. 【解析】 ∵=(sinα,-cosα),=(-cosβ,sinβ), ∴=(sinα-cosβ,-cosα+sinβ),又=(,), ∴sinα-cosβ=,cosα-sinβ=-, ∴(sinα-cosβ)2+(cosα-sinβ)2=, 整理得:sin2α+cos2β-2sinαcosβ+cos2α+sin2β-2cosαsinβ=2-2(sinαcosβ+cosαsinβ)=, 即sin(α+β)=, ∴•=-sinαcosβ-cosαsinβ=-(sinαcosβ+cosαsinβ)=-sin(α+β)=-; 又sinα-cosβ>0,即sinα>sin(-β),且α、β均为锐角, ∴<α+β<π, ∴cos(α+β)=-=-.
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考点分析:
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在平面直角坐标系xOy中,设A、B、C是圆x
2
+y
2
=1上相异三点,若存在正实数λ,μ,使得
=
,则λ
2
+(μ-3)
2
的取值范围是
.
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定理:三角形的外心O、重心G、垂心H依次在同一条直线(欧拉线)上,且
=
,其中外心O是三条边的中垂线的交点,重心G是三条边的中线的交点,垂心H是三条高的交点.如图,在△ABC中,AB>AC,AB>BC,M是边BC的中点,AH⊥BC(N是垂足),O是外心,G是重心,H是垂心,OM=1,则根据定理可求得
的最大值是
.
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已知
,
的夹角为
,则
在
上的投影为
.
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设
与
的夹角为θ,
=(3,3),2
-
=(-1,1),则cosθ=
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m、n∈R,
、
、
是共起点的向量,
、
不共线,
,则
、
、
的终点共线的充分必要条件是( )
A.m+n=-1
B.m+n=0
C.m-n=1
D.m+n=1
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试题属性
题型:解答题
难度:中等
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