Question

已知O为坐标原点，点A（2，1），B（1，2），对于k∈N^*有向量=k+，
（1）试问点P_k是否在同一条直线上，若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由；
（2）是否在存在k∈N^*使P_k在圆x²+（y-2）²=5上或其内部，若存在求出k，若不存在说明理由．

Answer

（1）利用向量的线性运算即可证明；
（2）先判断直线与圆的位置关系，进而即可得出结论．
【解析】
（1）点Pk（k∈N*）在同一条直线上，直线方程为y=2x-3．
证明如下：设Pk（xk，yk），则（xk，yk）=k（1，2）+（2，1），
∴，
∴yk=2xk-3．
∴点Pk在直线y=2x-3上．
（2）由圆x2+（y-2）2=5的圆心（0，2）到直线y=2x-3的距离为=r，
可知直线与圆相切，∴直线与圆及内部最多只有一个公共点．
联立解得．
∴切点的坐标为：（2，1），此时k=0不满足题意，所以不存k∈N*满足题意．