Question

已知双曲线的离心率为2，若抛物线的焦点到双曲线C₁的渐近线的距离为2，若A、B是C₂上两点且OA⊥OB，则直线AB与y轴的交点的纵坐标为（ ）
A．
B．16
C．8
D．

Answer

抛物线焦点为F（0，），由e==2，抛物线焦点至双曲线一渐近线距离d==2，推导出抛物线方程为：x2=±16y，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得到x1x2=-256，y1y2=256．设AB方程为：y=kx+m，根据韦达定理，x1x2=-16m，从而得到m=16，由此能求出直线AB与y轴的交点的纵坐标．
【解析】
抛物线焦点为F（0，），
e==2，
∴c=2a，
b==，
双曲线一渐近线方程为：y==，
=0，
∵抛物线焦点至双曲线一渐近线距离d==2，
∴p=±8，
∴抛物线方程为：x2=±16y，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∴=（x1，y1），=（x，y2），
∵，∴•=0．
∴x1x2+y1y2=0，
∵=16y1，=16y2，
∴x1x2+=0，
∴x1x2=-256，①
y1y2=256，②
设AB方程为：y=kx+m，
x2=±16（kx+m），
x2±16kx-16m=0，
根据韦达定理，x1x2=-16m，
由①式得：-256=-16m，
∴m=16，
由直线方程x=kx+m可知，m是直线在y轴的截距，即是交点的纵坐标，
∴直线AB与y轴的交点的纵坐标为16，
故选B．