Question

已知f（x）是R上的偶函数，若将f（x）的图象向左平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象，若f（2）=3，则f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）=    ．

Answer

根据函数奇偶性的定义进行变量代换，可得出f（x）是最小正周期为4的周期函数，从而将原式化简为：503[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）]+f（2012）+f（2013）．结合题意算出f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=0且f（0）+f（1）=-3．由此即可得到本题答案．
【解析】
∵将f（x）的图象向左平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象，
∴函数f（x）满足：f（-x+1）=-f（x+1）
又∵f（x）是R上的偶函数，可得f（-x+1）=f（x-1）
∴f（x-1）=-f（x+1），用x+2代替x得：f（x+1）=-f（x+3）
由此可得f（x+3）=f（x-1），再用x+1代替x得：f（x+4）=f（x）
∴函数f（x）是周期为4的周期函数
∵f（-x+1）=-f（x+1），
∴取x=0，可得f（1）=-f（1），得f（1）=0
取x=1，得f（0）=-f（2）=-3，可得f（0）+f（2）=0；
取x=2，得f（-1）=-f（3），即f（-1）+f（3）=f（1）+f（3）=0
因此，f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=0
∴f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）
=503[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）]+f（2012）+f（2013）
=f（2012）+f（2013）=f（0）+f（1）=-3
故答案为：-3