Question

如图所示，已知AB⊥平面BCD，M、N分别是AC、AD的中点，BC⊥CD．
（1）求证：MN∥平面BCD；
（2）求证：平面BCD⊥平面ABC；
（3）若AB=1，BC=，求直线AC与平面BCD所成的角．

Answer

（1）因为M，N分别是AC，AD的中点，所以MN∥CD．由此能够证明MN∥平面BCD．
（2）因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，所以AB⊥CD．因为CD⊥BC且AB∩BC=B，所以CD⊥平面ABC．由此能够证明平面BCD⊥平面ABC．
（3）因为AB⊥平面BCD，所以∠ACB为直线AC与平面BCD所成的角．由此能够求出直线AC与平面BCD所成的角．
【解析】
（1）∵M，N分别是AC，AD的中点，
∴MN∥CD．
∵MN⊄平面BCD且CD⊂平面BCD，
∴MN∥平面BCD．
（2）∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，
∴AB⊥CD．
∵CD⊥BC且AB∩BC=B，
∴CD⊥平面ABC．
∵CD⊂平面BCD，
∴平面BCD⊥平面ABC．
（3）∵AB⊥平面BCD，
∴∠ACB为直线AC与平面BCD所成的角． 
在直角△ABC中，，
∴．
∴∠ACB=30°．
故直线AC与平面BCD所成的角为30°．