Question

已知等差数列{a_n}满足：a₂=5，a₄+a₆=22，数列{b_n}满足，设数列{b_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求满足13＜S_n＜14的n的集合．

Answer

（I）利用等差数列的通项公式表示已知a2=5，a4+a6=22，可求a1，d，从而可求an，在中令n=1可求b1，且b1+2b2+…+2nbn+1=（n+1）an+1，两式相减可减可求bn
（II）利用错位相减可求Sn，然后结合Sn的单调性，可求
【解析】
（I）∵a2=5，a4+a6=22，
∴a1+d=5，（a1+3d）+（a1+5d）=22，
解得：a1=3，d=2．
∴…（2分）
在
中令n=1得：b1=a1=3，
又b1+2b2+…+2nbn+1=（n+1）an+1，
∴2nbn+1=（n+1）an+1一nan．
∴2nbn+1=（n+1）（2n+3）-n（2n+1）=4n+3，
∴，
∴，…（5分）
经检验，b1=3也符合上式，
所以数列{bn}的通项公式为…（6分）
（Ⅱ）Sn=3+7•+…+（4n-1）•（）n-1，
Sn=3•+7•（）2+…+（4n一5）•（）n-1+（4n一1）（）n．…（8分）
两式相减得：Sn=3+4[+（）2+…+（）n-1]一（4n一1）（）n，
∴Sn=3+4•，
∴Sn=14-．    …（10分）
∴∀n∈N*，S＜14．
∵数列{bn}的各项为正，
∴Sn单调递增，
又计算得，，
满足13＜Sn＜14的n的集合为{n|n≥6，n∈N}．