Question

已知抛物线C的顶点是椭圆的中心，且焦点与该椭圆右焦点重合．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若P（a，0）为x轴上一动点，过P点作直线交抛物线C于A、B两点．
（ⅰ）设S_△AOB=t•tan∠AOB，试问：当a为何值时，t取得最小值，并求此最小值．
（ⅱ）若a=-1，点A关于x轴的对称点为D，证明：直线BD过定点．

Answer

（Ⅰ）由题意，设抛物线C的标准方程为y2=2px（x＞0），焦点F（，0），由椭圆的右焦点为（1，0），知p=2，由此能求出抛物线方程．
（Ⅱ）（ⅰ）设直线AB：my=x-a．联立，得=0，由此能推导出当a=2时，t有最小值一2．
（ⅱ）由（ⅰ）知D（x1，-y1），y1+y2=4m，y1y2=4，直线BD的方程为，由此能导出直线BD过定点（1，0）．
【解析】
（Ⅰ）由题意，设抛物线C的标准方程为y2=2px（x＞0），焦点F（，0），
∵椭圆的右焦点为（1，0），
∴，即p=2，
∴抛物线方程为：y2=4x，…（4分）
（Ⅱ）（ⅰ）设直线AB：my=x-a．
联立，消x得=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2=-4a，，…（6分）
由S△AOB=
=，
∴，
∵，…（8分）
∴，
∴当a=2时，t有最小值一2．…（10分）
（ⅱ）由（ⅰ）可知D（x1，-y1），y1+y2=4m，y1y2=4，
直线BD的方程为y-y2=，
即
y=
∴y=，
∴直线BD过定点（1，0）．…（14分）