Question

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁各棱长都为a，P为线段A₁B上的动点．
（Ⅰ）试确定A₁P：PB的值，使得PC⊥AB；
（Ⅱ）若A₁P：PB=2：3，求二面角P-AC-B的大小．

Answer

【法一】（Ⅰ）利用三角形的中位线，可确定A1P：PB的值，使得PC⊥AB；
（Ⅱ）先作出二面角P-AC-B的平面角，再进行计算；
【法二】建立空间直角坐标系，（Ⅰ）由，可确定A1P：PB的值，使得PC⊥AB；
（Ⅱ）确定平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论．
【解析】
【法一】（Ⅰ）当PC⊥AB时，作P在AB上的射影D，连接CD，则AB⊥平面PCD，∴AB⊥CD，∴D是AB的中点，
又PD∥AA1，∴P也是A1B的中点，即A1P：PB=1．
反之当A1P：PB=1时，取AB的中点D'，连接CD'、PD'．
∵△ABC为正三角形，∴CD'⊥AB．
由于P为A1B的中点时，PD'∥A1A
∵A1A⊥平面ABC，∴PD'⊥平面ABC，∴PC⊥AB．…6′
（Ⅱ）当A1P：PB=2：3时，作P在AB上的射影D，则PD⊥底面ABC．
作D在AC上的射影E，连接PE，则PE⊥AC，∴∠DEP为二面角P-AC-B的平面角．
又∵PD∥AA1，∴，∴．
∴，
又∵，∴，∴，∴P-AC-B的大小为∠PED=60°．…12
【法二】以A为原点，AB为x轴，过A点与AB垂直的直线为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示，设P（x，0，z），则B（a，0，0）、A1（0，0，a）、．
（Ⅰ）由得，即，
∴，即P为A1B的中点，也即A1P：PB=1时，PC⊥AB．…4′
（Ⅱ）当A1P：PB=2：3时，P点的坐标是．
取．则，．
∴是平面PAC的一个法向量．
又平面ABC的一个法向量为．
∴，∴二面角P-AC-B的大小是60°．…（12分）