Question

已知，．（n∈N^*，a为常数）
（1）若，求证：数列是等比数列；
（2）在（1）条件下，求证：．

Answer

（1）由，知，由，知，由此能够证明数列是等比数列．
（2）由（1）知，即，由，知要证，只需证2n≥2n，由此能够证明证：．
证明：（1）∵，
∴，（1分）
∵∴，则 ，（3分）
∴数列是以为首项，以2为公比的等比数列，（4分）
（2）由（1）知，化简得
∵，∴要证，只需证2n≥2n，（8分）
证法一：当n=1或2时，有2n=n，
当n≥3时，
，（10分）
∴2n≥2n对n∈N*都成立，n=1
∴．（12分）
证法二：用数学归纳法证明，
①当时，结论显然成立；n=k+1，（9分）
②假设当n=k（k≥1）时结论成立，即2k≥2k，
当n=k+1时，2^k+{x_{n+1}}=x_n^2+{x_n}={x_n}（{x_n}+1）1=2•2k≥2•2k＞2（k+1），，（10分）
∴当时结论也成立
综合①、②知，对n∈N*都成立．（12分）