Question

已知函数f（x）=lnx-ax²+（a-2）x．
（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）求函数y=f（x）在[a²，a]上的最大值．

Answer

（I）先求函数的定义域，然后求出导函数，根据f（x）在x=1处取得极值，则f'（1）=0，求出a的值，然后验证即可；
（II）先求出a的范围，然后利用导数研究函数的单调性，当时，f（x）在[a2，a]单调递增，则fmax（x）=f（a），当时，f（x）在单调递增，在单调递减，fmax（x）=f（），当，即时，f（x）在[a2，a]单调递减，则fmax（x）=f（a2），从而求出所求．
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）=lnx-ax2+（a-2）x，∴函数的定义域为（0，+∞）．            …（1分）
∴．     …（3分）
∵f（x）在x=1处取得极值，
即f'（1）=-（2-1）（a+1）=0，
∴a=-1．                                                         …（5分）
当a=-1时，在内f'（x）＜0，在（1，+∞）内f'（x）＞0，
∴x=1是函数y=f（x）的极小值点．∴a=-1．                      …（6分）
（Ⅱ）∵a2＜a，∴0＜a＜1．                                             …（7分）
∵x∈（0，+∞），∴ax+1＞0，
∴f（x）在上单调递增；在上单调递减，…（9分）
①当时，f（x）在[a2，a]单调递增，
∴fmax（x）=f（a）=lna-a3+a2-2a；                               …（10分）
②当，即时，f（x）在单调递增，在单调递减，
∴；                    …（11分）
③当，即时，f（x）在[a2，a]单调递减，
∴fmax（x）=f（a2）=2lna-a5+a3-2a2．                            …（12分）
综上所述，当时，函数y=f（x）在[a2，a]上的最大值是lna-a3+a2-2a；
当时，函数y=f（x）在[a2，a]上的最大值是；
当时，函数y=f（x）在[a2，a]上的最大值是2lna-a5+a3-2a2．
…（13分）