Question

已知抛物线P：x²=2py （p＞0）．
（Ⅰ）若抛物线上点M（m，2）到焦点F的距离为3．
（ⅰ）求抛物线P的方程；
（ⅱ）设抛物线P的准线与y轴的交点为E，过E作抛物线P的切线，求此切线方程；
（Ⅱ）设过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，连接AO，BO并延长分别交抛物线的准线于C，D两点，求证：以CD为直径的圆过焦点F．

Answer

（Ⅰ）（ⅰ）欲求抛物线方程，需求出p值，根据抛物线上点到焦点F的距离与到准线距离相等，以及抛物线上点M（m，2）到焦点F的距离为3，可解得 p，问题得解．
（ⅱ）求出E点坐标，设出过E的抛物线P的切线方程，再根据直线方程与抛物线方程联立，△=0，即可求出k值，进而求出切线方程．
（Ⅱ）设出A，B两点坐标，以及过焦点F的动直线l方程，代入抛物线方程，求x1x2，x1+x2，再求C，D点坐标，用含x1，x2的式子表示坐标，在证共线即可．
【解析】
（Ⅰ）（ⅰ）由抛物线定义可知，抛物线上点M（m，2）到焦点F的距离与到准线距离相等，
即M（m，2）到的距离为3；
∴，解得p=2．
∴抛物线P的方程为x2=4y．                                       
（ⅱ）抛物线焦点F（0，1），抛物线准线与y轴交点为E（0，-1），
显然过点E的抛物线的切线斜率存在，设为k，切线方程为y=kx-1．
由，消y得x2-4kx+4=0，
△=16k2-16=0，解得k=±1．                                    
∴切线方程为y=±x-1．                                          
（Ⅱ）直线l的斜率显然存在，设l：，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由消y得 x2-2pkx-p2=0．   且△＞0．
∴x1+x2=2pk，x1•x2=-p2；
∵A（x1，y1），∴直线OA：，
与联立可得，同理得．          
∵焦点，
∴，，
∴==
∴以CD为直径的圆过焦点F．