Question

用[a]表示不大于a的最大整数．令集合P={1，2，3，4，5}，对任意k∈P和m∈N*，定义，集合，并将集合A中的元素按照从小到大的顺序排列，记为数列{a_n}．
（Ⅰ）求f（1，2）的值；
（Ⅱ）求a₉的值；
（Ⅲ）求证：在数列{a_n}中，不大于的项共有f（m，k）项．

Answer

（I）根据新的定义列式，然后根据[a]表示不大于a的最大整数进行求解，即可求出所求；
（II）根据数列{an}是将集合A中的元素按从小到大的顺序排立而成，然后设计一表格，从而求出a9的值；
（III）分别求出（II）中表格的每一行共有多少个数不大于，然后相加，即可根据定义即可得到结论．
（本小题共13分）
【解析】
（Ⅰ）由已知知=1+1+0+0+0=2．
所以f（1，2）=2．                                                    …（4分）
（Ⅱ）因为数列{an}是将集合中的元素按从小到大的顺序排立而成，
所以我们可设计如下表格

km 1 2 3 4 5 ‥‥ m
1 ‥‥ ‥‥
2 ‥‥
3 ‥‥ ‥‥
4 ‥‥ ‥‥
5 ‥‥ ‥‥

从上表可知，每一行从左到右数字逐渐增大，每一列从上到下数字逐渐增大．
且＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜‥‥
所以 ．                                                    …（8分）
（Ⅲ）任取m1，m2∈N*，k1，k2∈P，
若，则必有m1=m2，k1=k2．
即在（Ⅱ）表格中不会有两项的值相等．
对于而言，若在（Ⅱ）表格中的第一行共有m1的数不大于，
则m1，即m1，所以m1=，
同理，第二行共有m2的数不大于，有m2=，
第i行共有mi的数不大于，有mi=．
所以，在数列{an}中，不大于的项共有项，即f（m，k）项．
…（13分）