Question

若a＞0，使关于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a在R上的解集不是空集，设a的取值集合是A；若不等式|x|＞bx（b∈R）的解集为（0，+∞），设实数b的取值集合是B，试求当x∈A∪B时，f（x）=2^|x+1|-|x-1|的值域．

Answer

利用不等式的性质对|x-3|+|x-4|进行放缩和分类讨论，求出|x-3|-|x-4|的最小值，即可求a的取值集合，根据不等式|x|＞bx，分两种情况进行讨论，根据其解集为（0，+∞），求出b的范围，根据交集运算法则，求出A∪B，去掉绝对值求出f（x）的值域；
【解析】
|x-3|+|x-4|的几何意义是数轴上的点x 到3和4的距离之和，
当x在3、4之间时，这个距离和最小为是1，其它情况都大于1
所以|x-3|+|x-4|≥1
如果使关于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a在R上的解集不是空集，所以 a＞1，
∴A={a|a＞1}；
不等式|x|＞bx（b∈R）的解集为（0，+∞），
当x＞0时，x-bx＞0，即x（1-b）＞0，∴1-b＞0，∴b＜1；
当x＜0时，-x-bx＞0，即x（1+b）＜0，∴1+b＞0，∴b＞-1，
∵不等式|x|＞bx（b∈R）的解集为（0，+∞），说明x＜0时x无解，得b≤-1，
综上：b＜-1；B={b|b≤-1}
∴A∪B={a|a＞1}∪{b|b≤-1}；
∵f（x）=2|x+1|-|x-1|，
当x＞1时，f（x）=2x+1-x+1，f（x）为单调增函数，f（x）＞f（1）=4；
当x≤-1时，f（x）=2-x-1+x-1，f′（x）=+1＜0，f（x）为减函数，f（x）≥f（-1）=-1；
∴综上：当x＞1时，f（x）＞4；当x＜-1时，f（x）≥-1；