Question

定义数列A_n：a₁，a₂，…，a_n，（例如n=3时，A₃：a₁，a₂，a₃）满足a₁=a_n=0，且当2≤k≤n（k∈N^*）时，．令S（A_n）=a₁+a₂+…+a_n．
（1）写出数列A₅的所有可能的情况；
（2）设a_k-a_k-1=c_k-1，求S（A_m）（用m，c₁，…，c_m的代数式来表示）；
（3）求S（A_m）的最大值．

Answer

（1）由题设，满足条件的数列A5的所有可能情况有6种．
（2）ak-ak-1=ck-1，由，则ck-1=1或ck-1=-1（2≤k≤n，k∈N*），由此能求出S（Am）．
（3）当c1，c2，…，cm-1的前项取1，后项取-1时S（Am）最大，此时，再利用题设条件进行证明即可．
【解析】
（1）由题设，满足条件的数列A5的所有可能情况有：
①0，1，2，1，0；②0，1，0，1，0；
③0，1，0，-1，0；④0，-1，-2，-1，0；
⑤0，-1，0，1，0；⑥0，-1，0，-1，0．
（2）ak-ak-1=ck-1，由，
则ck-1=1或ck-1=-1（2≤k≤n，k∈N*），
a2-a1=c1，a3-a2=c2，
…an-an-1=cn-1，
所以an=a1+c1+c2+…+cn-1．
因为a1=an=0，所以c1+c2+…+cn-1=0，且n为奇数，
c1，c2，…，cn-1是由个1和个-1构成的数列．
所以S（Am）=c1+（c1+c2）+…+（c1+c2+…+cm-1）
=（m-1）c1+（m-2）c2+…+2cm-2+cm-1．
（3）当c1，c2，…，cm-1的前项取1，
后项取-1时S（Am）最大，
此时（14分）
证明如下：
假设c1，c2，…，cm-1的前项中恰有t项取-1，
则c1，c2，…，cm-1的后项中恰有t项取1，
其中，，，i=1，2，…，t．
所以S（Am）=（m-1）c1+（m-2）c2+…+2cm-2+cm-1
=
=-2[（m-m1）+（m-m2）+…+（m-mt]+2[（m-n1）+（m-n2）+…+（m-nt）]
=．
所以S（Am）的最大值为．