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如图,直线l1和l2相交于点M,l1⊥l2,点N∈l1.以A,B为端点的曲线段C...

manfen5.com 满分网如图,直线l1和l2相交于点M,l1⊥l2,点N∈l1.以A,B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形,|AM|=manfen5.com 满分网,|AN|=3,且|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.
方法一:由抛物线的定义知该曲线段是一段抛物线,建立适当的坐标系,依据题意求参数值.用定义法写出抛物线的方程. 方法二:建立相应的坐标系,设出曲线段C上的任意一点的坐标(x,y),依据题意曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等得出方程整理即得抛物线的方程. 【解析】 法一:如图建立坐标系, 以l1为x轴,MN的垂直平分线为y轴,点O为坐标原点. 依题意知:曲线段C是以点N为焦点,以l2为准线的抛物线的一段,其中A,B分别为C的端点. 设曲线段C的方程为 y2=2px(p>0),(xA≤x≤xB,y>0), 其中xA,xB分别为A,B的横坐标,p=|MN|. 所以M(,0),N(,0). 由|AM|=,|AN|=3得 (xA+)2+2pxA=17,① (xA-)2+2pxA=9.② 由①,②两式联立解得xA=.再将其代入①式并由p>0解得 因为△AMN是锐角三角形,所以>xA,故舍去 所以p=4,xA=1. 由点B在曲线段C上,得xB=|BN|-=4. 综上得曲线段C的方程为 y2=8x(1≤x≤4,y>0). 解法二:如图建立坐标系, 分别以l1、l2为x、y轴,M为坐标原点. 作AE⊥l1,AD⊥l2,BF⊥l2,垂足分别为E、D、F. 设A(xA,yA)、B(xB,yB)、N(xN,0). 依题意有 xA=|ME|=|DA|=|AN|=3, yA=|DM|=, 由于△AMN为锐角三角形,故有 xN=|ME|+|EN| =|ME|+=4 xB=|BF|=|BN|=6. 设点P(x,y)是曲线段C上任一点,则由题意知P属于集合 {(x,y)|(x-xN)2+y2=x2,xA≤x≤xB,y>0}. 故曲线段C的方程为y2=8(x-2)(3≤x≤6,y>0).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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