Question

在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖．已知教师甲投进每个球的概率都是．
（Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望；
（Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；
（Ⅲ）已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？

Answer

（Ⅰ）教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6由题意直接可知X～B（6，）即可求解
（Ⅱ）教师甲在一场比赛中获奖：分为三种情况（中4球，5球，6球）但都必须最后2个球都投进者，故所求的概率为．
（Ⅲ）教师乙在某场比赛中的事件总数为：A66，而6个球中恰好投进了4个球的事件数为：A42×A44，故而教师乙在这场比赛中获奖的概率为：
  根据（Ⅱ）知教师甲在一场比赛中获奖的概率为：，而，故教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等．
【解析】
（Ⅰ）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6．
依条件可知X～B（6，）.（k=0，1，2，3，4，5，6）
X的分布列为：

X 1 2 3 4 5 6
P

所以=．
或因为X～B（6，），所以．即X的数学期望为4
（Ⅱ）设教师甲在一场比赛中获奖为事件A，
则=．
答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为．
（Ⅲ）设教师乙在这场比赛中获奖为事件B，
则．
即教师乙在这场比赛中获奖的概率为．
显然，所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等．