Question

如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥平面BCE；
（2）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．

Answer

（1）由线面垂直的性质可证得AE⊥BC且AE⊥BF，进而由线面垂直的判定定理得到AE⊥平面BCE
（2）在三角形ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在三角形BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连MN，由面面平行的判定定理可得平面MGN∥平面ADE，进而MN∥平面DAE．
证明：（1）∵AD⊥平面ABE，AD∥BC
∴BC⊥平面ABE，
又∵AE⊂平面ABE，
∴AE⊥BC（2分）
又∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，
∴AE⊥BF
∵BC∩BF=B，BC，BF⊂平面BCE
∴AE⊥平面BCE
（2）在三角形ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，
在三角形BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连MN，
则由比例关系易得CN=
∵MG∥AE，MG⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，
∴MG∥平面ADE
同理，GN∥平面ADE
∵MG∩GN=G，MG，GN⊂平面MGN
∴平面MGN∥平面ADE
又MN⊂平面MGN
∴MN∥平面ADE
∴N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点