Question

已知等腰梯形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，PD=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD（如图2）．
（1）证明：平面PAD⊥平面PCD；
（2）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分V_PDCMA：V_MABC=2：1．
（3）在M满足（Ⅱ）的情况下，判断直线AM是否平行面PCD．

Answer

（I）依题意知：CD⊥AD，即可根据面面垂直的性质定理可得：所以DC⊥平面PAD，再根据面面垂直的判定定理可得：平面PAD⊥平面PCD．
（II）根据（I）同理可得：PA⊥平面ABCD，可得平面PAB⊥平面ABCD．在AB上取一点N，MN⊥平面ABCD，设MN=h，再分别计算出VPDCMA与VMABC的数值，并且结合题意可得，所以M为PB的中点．
（III）根据题意作AQ⊥PD，所以是平面PCD的法向量．分别计算出，因为，所以．
证明：（I）依题意知：CD⊥AD，并且CD⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，面PAD⊥面ABCD，
所以DC⊥平面PAD，
又因为DC⊂平面PCD，
所以平面PAD⊥平面PCD．
（II）根据（I）同理可得：PA⊥平面ABCD，因为PA⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面ABCD．
在AB上取一点N，使得MN⊥AB，则MN⊥平面ABCD，
设MN=h
则=，
=，
所以要使VPDCMA：VMABC=2：1，即，
解得，
所以M为PB的中点．
（III）以A为原点，AD、AB、AP所在直线为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系

则A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），
P（0，0，1），M（0，1，）
由（I）知平面PAD⊥平面PCD，作AQ⊥PD，
则AQ⊥平面PCD，则是平面PCD的法向量．
又因为△PAD为等腰直角三角形，所以Q为PD的中点，即Q（），
所以，
因为，
所以，
所以AM与平面PCD不平行．