Question

已知集合A=a₁，a₂，a₃，…，a_n，其中a_i∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示和a_i+a_j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．
（Ⅰ）设集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16，分别求l（P）和l（Q）；
（Ⅱ）若集合A=2，4，8，…，2ⁿ，求证：；
（Ⅲ）l（A）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？

Answer

（Ⅰ）直接利用定义把集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16中的值代入即可求出l（P）和l（Q）；
（Ⅱ）先由ai+aj（1≤i＜j≤n）最多有个值，可得；再利用定义推得所有ai+aj（1≤i＜j≤n）的值两两不同，即可证明结论．
（Ⅲ）l（A）存在最小值，设a1＜a2＜＜an，所以a1+a2＜a1+a3＜…＜a1+an＜a2+an＜…＜an-1+an．由此即可证明l（A）的最小值2n-3．
【解析】
（Ⅰ）根据题中的定义可知：由2+4=6，2+6=8，2+8=10，4+6=10，4+8=12，6+8=14，得l（P）=5．
由2+4=6，2+8=10，2+16=18，4+8=12，4+16=20，8+16=24，得l（Q）=6．（5分）
（Ⅱ）证明：因为ai+aj（1≤i＜j≤n）最多有个值，所以．
又集合A=2，4，8，，2n，任取ai+aj，ak+al（1≤i＜j≤n，1≤k＜l≤n），
当j≠l时，不妨设j＜l，则ai+aj＜2aj=2j+1≤al＜ak+al，
即ai+aj≠ak+al．当j=l，i≠k时，ai+aj≠ak+al．
因此，当且仅当i=k，j=l时，ai+aj=ak+al．
即所有ai+aj（1≤i＜j≤n）的值两两不同，
所以．（9分）
（Ⅲ）l（A）存在最小值，且最小值为2n-3．
不妨设a1＜a2＜a3＜…＜an，可得a1+a2＜a1+a3＜…＜a1+an＜a2+an＜…＜an-1+an，
所以ai+aj（1≤i＜j≤n）中至少有2n-3个不同的数，即l（A）≥2n-3．
事实上，设a1，a2，a3，，an成等差数列，
考虑ai+aj（1≤i＜j≤n），根据等差数列的性质，
当i+j≤n时，ai+aj=a1+ai+j-1；
当i+j＞n时，ai+aj=ai+j-n+an；
因此每个和ai+aj（1≤i＜j≤n）等于a1+ak（2≤k≤n）中的一个，
或者等于al+an（2≤l≤n-1）中的一个．
所以对这样的A，l（A）=2n-3，所以l（A）的最小值为2n-3．（13分）