Question

已知等差数列数﹛a_n﹜的前n项和为S_n，等比数列﹛b_n﹜的各项均为正数，公比是q，且满足：a₁=3，b₁=1，b₂+S₂=12，S₂=b₂q．
（Ⅰ）求a_n与b_n；
（Ⅱ）设（λ∈R），若﹛c_n﹜满足：c_n+1＞c_n对任意的n∈N°恒成立，求λ的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由题目给出的已知条件b2+S2=12，S2=b2q，列关于等差数列的第二项及等比数列的公比的二元方程组，求出等差数列的第二项及等比数列的公比，则an与bn可求；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的an与bn代入（λ∈R），整理后把cn+1＞cn转化为含有λ和n的表达式，分离参数后利用函数的单调性求函数的最小值，从而求出λ的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）由S2=a1+a2=3+a2，b2=b1q=q，且b2+S2=12，S2=b2q．
∴，消去a2得：q2+q-12=0，解得q=3或q=-4（舍），
∴，则d=a2-a1=6-3=3，
从而an=a1+（n-1）d=3+3（n-1）=3n，
；
（Ⅱ）∵an=3n，，∴．
∵cn+1＞cn对任意的n∈N*恒成立，即：3n+1-λ•3n+1＞3n-λ•2n恒成立，
整理得：λ•2n＜2•3n对任意的n∈N*恒成立，
即：对任意的n∈N*恒成立．
∵在区间[1，+∞）上单调递增，∴，
∴λ＜3．
∴λ的取值范围为（-∞，3）．