Question

定义在R上的函数f（x）满足：f（x）•f（-x）=1，f（1+x）•f（1-x）=4，当x∈[0，1]时，f（x）的值域为[1，2]，a_k=f（x）_minx∈[2k，2k+2]（k∈N），则=（ ）
A．1
B．
C．
D．

Answer

由已知函数关系可得，f（x+2）=4f（x），结合x∈[0，1]时，f（x）的值域可求x∈[-1，0]，进而可求x∈[1，2]的值域，利用此规律可求{an}是以1为首项，以4为公比的等比数列，代入等比数列的求和公式可求和，进而可求极限
【解析】
∵f（1+x）•f（1-x）=4，
∴f（1+x）=
令1-x=t可得f（t）=①
∵f（x）f（-x）=1
∴f（x）=即f（t）=②
①②可得f（t+2）=4f（t）
∴f（x+2）=4f（x）
x∈[0，1]时，f（x）的值域为[1，2]，
设x∈[-1，0]，则-x∈[0，1]，则f（x）=
所以，x+2∈[1，2]，f（x+2）=4f（x）∈[2，4]，以此类推可得，区间每增加2个长度，值域变为上一区间的4倍
∵ak=f（x）min，x∈[2k，2k+2]
∴a1=f（x）min，x∈[0，2]
即a1=1
∴{an}是以1为首项，以4为公比的等比数列
∴
∴=
===
故答案为：