如图，在三棱锥P-ABC中，（1）求证：平面ABC⊥平面APC （2）求直线P...

如图，在三棱锥P-ABC中， manfen5.com 满分网

（1）求证：平面ABC⊥平面APC
（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（3）若动点M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的余弦值为 manfen5.com 满分网

，求BM的最小值．

（1）证明平面ABC⊥平面APC，利用线面垂直证明，即证OP⊥平面ABC；（2）以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用坐标表示点与向量，求出平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可得到直线PA与平面PBC所成角的正弦值；（3）平面PAC的法向量，求出平面PAM的法向量，利用二面角M-PA-C的余弦值为，可得，从而可求B点到AM的最小值．（1）证明：取AC中点O，因为AP=BP，所以OP⊥OC 由已知，可得△ABC为直角三角形，∴OA=OB=OC，△POA≌△POB≌△POC，∴OP⊥OB ∵OB∩OC=O ∴OP⊥平面ABC， ∵OP⊂平面PAC，∴平面ABC⊥平面APC（4分）（2）【解析】以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系．由已知得O（0，0，0），B（2，0，0），A（0，-2，0）， C（0，2，0），P（0，0，），（5分） ∴ 设平面PBC的法向量，由得方程组，取（6分） ∴ ∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为．（8分）（3）【解析】由题意平面PAC的法向量，设平面PAM的法向量为，M=（m，n，0） ∵，， ∴ 取z=1，可得 ∴ ∴ ∴2n+2=4m（11分） ∴B点到AM的最小值为垂直距离d=．（12分）

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考点分析：

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如图所示，质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进．现在投掷一个质地均匀．每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1．两个2．两个3一共六个数字．质点P从A点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P前进一步（如由A到B）；当正方体上底面出现的数字是2，质点P前进两步（如由A到C），当正方体上底面出现的数字是3，质点P前进三步（如由A到D）．在质点P转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止．
（1）求点P恰好返回到A点的概率；
（2）在点P转一圈恰能返回到A点的所有结果中，用随机变量S表示点P恰能返回到A点的投掷次数，求S的数学期望．

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阅读下面材料：
根据两角和与差的正弦公式，有sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ------③
令α+β=A，α-β=B有 manfen5.com 满分网

代入③得

．
（Ⅰ）类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明： manfen5.com 满分网

；
（Ⅱ）若△ABC的三个内角A，B，C满足cos2A-cos2B=2sin²C，试判断△ABC的形状．
（提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及（Ⅰ）中的结论）

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定义：对于映射f：A→B，如果A中的不同元素有不同的象，且B中的每一个元素都有原象，则称f：A→B为一一映射．如果存在对应关系φ，使A到B成为一一映射，则称A和B具有相同的势．给出下列命题：
①A={奇数}，B={偶数}，则A和B 具有相同的势；
②A是直角坐标系平面内所有点形成的集合，B是复数集，则A和B 不具有相同的势；
③若A={ manfen5.com 满分网